算法复杂度分析

前面我们说了很多次时间复杂度是 O(1), O(n) 啥的，并没有仔细讲解这个 O 符号究竟是什么。你可以大概理解为操作的次数和数据个数的比例关系。比如 O(1) 就是有限次数操作，O(n) 就是操作正比于你的元素个数。这一章我们用更严谨的方式来定义它。

大 O 表示法

我们从一个计算矩阵的例子来引入，这里我参考了《Data Structures and Algorithms in Python》中给的一个例子:

考虑计算一个 n * n 矩阵所有元素的和（如果你不知道矩阵，就理解为一个二维数组）：

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}$

这里列举两种方式:

# version1
total_sum = 0
for i in range(n):
    row_sum[i] = 0
    for j in range(n):
        row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j]
        total_sum = total_sum + matrix[i, j]

# version2
total_sum = 0
for i in range(n):
    row_sum[i] = 0
    for j in range(n):
        row_sum[i] = row_sum[i] + matrix[i, j]
    total_sum = total_sum + row_sum[i]    # 注意这里和上边的不同

v1 版本的关键操作在 j 循环里，两步加法操作，由于嵌套在第一个循环里，操作步骤是 $(2n) * n = 2n^2$ 。

v2 版本的 total_sum 只有 n 次操作，它的操作次数是 $n + n*n = n^2 + n$ 。

这里你可能还感觉不到它们有多大差别，因为计算机执行的太快了，但是当 n 增长特别快的时候，总的操作次数差距就很明显了：

n	$2n^2$	$n^2 +n$
10	200	110
100	20,000	10,100
1000	2,000,000	1,001,000
10000	200,000,000	100,010,000
100000	20,000,000,000	10,000,100,000

通常我们不太关注每个算法具体执行了多少次，而更关心随着输入规模 n 的增加，算法运行时间将以什么速度增加。为此计算机科学家定义了一个符号，用来表示在最糟糕的情况下算法的运行时间，大 O 符号，在数学上称之为渐进上界（《算法导论》）。

如何计算时间复杂度

上边我们列举了两个版本的计算矩阵和的代码，你看到了两个公式:

v1: $2n*n = 2n^2$
v2: $n + n*n = n + n^2$

当 n 非常大的时候， $n^2$ 的数值这里将占主导，我们可以忽略 n 的影响

v1: $2n*n = 2n^2$
v2: $n + n*n = n + n^2 \leq 2n^2$

这里我们可以认为两个算法的时间复杂度均为 $O(n^2)$

常用时间复杂度

这里我们列举一些常用的时间复杂度，按照增长速度排序，日常我们的业务代码中最常用的是指数之前的复杂度，指数和阶乘的增长速度非常快，当输入比较大的时候用在业务代码里是不可接受的。

O	名称	举例
1	常量时间	一次赋值
$\log n$	对数时间	折半查找
$n$	线性时间	线性查找
n $\log n$	对数线性时间	快速排序
$n^2$	平方	两重循环
$n^3$	立方	三重循环
$2^n$	指数	递归求斐波那契数列
$n!$	阶乘	旅行商问题

空间复杂度

相比时间复杂度，空间复杂度讨论比较少。因为用户老爷等不及，况且现在存储越来越白菜价了，更多时候我们为了提升响应速度宁可多使用点空间。空间复杂度相对好算一些，就是每个元素的空间占用乘以总的元素数，有些算法需要额外的空间存储，有些可以本地解决。如果能本地搞定的我们成为 in place 的，原地操作，比如交换一个数组中的某两个位置的元素。但是有些操作可能就需要申请额外的空间来完成算法了，后边我们介绍排序算法的时候会讲到。

常见复杂度增长趋势图

为了让你有个直观的感觉，我们来看看一些经典的时间复杂度和对应的增长趋势图，不同函数在输入规模增长的时候很快就会有巨大的增长差异

函数增长趋势图

时间换空间，空间换时间

有一些时候时间和空间两者不可兼得，我们会牺牲其中之一来换取另一个。

空间换时间：比如典型的就是 python 中的集合（后面会讲到它的实现原理），虽然它比较浪费空间，但是却能用 O(1) 的时间复杂度来判重。

时间换空间：当我们空间不够用，典型的就是缓存失效算法，我们不可能缓存下无限容量的数据，就会使用一些缓存淘汰算法来保证空间可用。

思考题

回头看看前几章我们讲到的数据结构，以及每个操作的时间复杂度，你能理解了吗？
二分查找是针对有序元素的一种经典的查找算法，你知道的它的时间复杂度吗？你能简单证明下吗。
斐波那契数列你肯定很熟悉，它的公式是 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，你知道计算一个斐波那契数 F(n) 的时间复杂度吗？你会用数学公式证明吗？
你能指出时间和空间权衡的例子吗？往往很多高效的数据结构能同时兼顾时间和空间复杂度，但是有时候我们却得做出一定的权衡

参考资料

如果你对数学感兴趣，建议你阅读《算法导论》『函数的增长』这一节和《Data Structures and Algorithms in Python》第4章。

(本章我用了 MathJax 来书写一些简单的数学公式，使用 "$"包含起来的就是数学公式)